Một đa tạp Riemann M {\displaystyle M} là một đa tạp trơn với một 2-ten-xơ g ∈ T ∗ M ⊗ T ∗ M {\displaystyle g\in T^{*}M\otimes T^{*}M} sao cho[1][2]

1. g {\displaystyle g} đối xứng, tức là ∀ X , Y ∈ T p M : g ( p ) ( X , Y ) = g ( p ) ( Y , X ) {\displaystyle \forall X,Y\in T_{p}M:g(p)(X,Y)=g(p)(Y,X)}
2. g {\displaystyle g} xác định dương, tức là ∀ X ∈ T p M − { 0 } : g ( p ) ( X , X ) > 0 {\displaystyle \forall X\in T_{p}M-\{0\}:g(p)(X,X)>0} .